2018年仲恺农业工程学院植物病理学314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】因为
为
及
，
所以Y 的密度函数为
这是对数正态分布
，为求其数学期望，采用线性变换
可得
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是为求Y 的方差，先求
. 施行相同的线性变换，可得
=
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是
2． 设随机变量X 仅在区间
的密度函数之故. 由此得
的密度函数之故.
，求
的密度函数、数学期望与方差.
，且
为严格单调增函数，其反函数
的可能取值范围为
上取值，试证:
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为
同理可证:
. 由上题的结论知
注:此命题表明有界随机变量的数学期望和方差总是存在的.
3． 若随机变量
【答案】方程
. ，而方程无实根等价于
无实根的概率为0.5, 试求. ，所以由题意知
由此得知.
4． 掷一颗骰子60次，结果如:
表
试在显著性水平为0.05下检验这颗骰子是否均匀.
【答案】这是一个分布拟合优度检验，总体总共分6类. 若记出现点数i 的概率为， 则要检验的假设为若取
则查表知，
这里k=6，检验拒绝域为检验的统计量为
由于
未落入拒绝域，故不拒绝原假设. 在显著性水平为0.05下可以认为这颗骰子是均
，
匀的. 此处检验的p 值为
5． 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，试求X 和Y 的协方差及相关系数.
【答案】因为
且
所以
这表明:X 与Y 间是完全负相关. 这个结论早就藴含在线性关系式
6． 设
，试求1—X 的分布.
之中.
【答案】X 的密度函数为
因
为
，所以
在（0, 1）上为严格单调减函数，其反函数
为的密度函数为
这表明:当
且
有
时，1—X 与X 同分布.
7． 测试在有精神压力和没有精神压力时血压的差别，10个志愿者进行了相应的试验，结果为（单位:mmHg 收缩压）:
无精神压力时有精神压力时
是否该数据表明有精神压力下的血压的确增加？ 【答案】对此问题首先明确要检验的一对假设为:
有无精神压力下的血压不变
的10个观测值，为
（1）若假定增加值服从正态分布，可通过对增加值做单样本t 检验进行. 一对假设为
故可算出检验统计量值为
由数据可计算得到
，于是检验的p 值为
p 值小于0.05, 可认为有精神压力下的血压的确增加了. （2）由于
正数的个数为8, 从而检验的p 值为
p 值大于0.05, 在显著性水平0.05得不到显著的结论，即不能认为有精神压力下的血压的确增加了.
（3）由于负的差值只有一个，其秩分别为4, 故符号秩和检验统计量为这是一个单边假设检验，检验拒绝域为查表可知的确增加了.
三者结果并不完全一致.
8． 己知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布（
）?
【答案】这是关于正态总体均值的双侧假设检验问题，原假设
由于总体方差已知，故采用“检验，检验的拒绝域为当
时，查表知
由己知条件，
，故
这里值没有落入拒绝域，故不能拒绝原假设，因而可以认为生产的铁水平均含碳量仍为4.55.
和备择假设，
分别为
. 现在测定了9炉铁水，其平均含碳量, 在给定n=10，
， 下， ，
先给出血压增加值:有精神压力下的血压有增加为此，
观测值4落入拒绝域，故拒绝原假设，可以认为有精神压力下的血压
为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55
二、证明题