2018年华中农业大学资源与环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
2． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令
为任意常数.
是3维非零列向量，若线性无关； 求
且
线性无关.
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令
非零可知，是A 的个
即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
即
所以
故
3．
已知
且.
求
故
【答案】
由题意知又
又
知
即
得
故
知
4． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
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故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵（
0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵
B 一定可以对角化，且从而可
知n 阶矩阵与相似.
二、计算题
5．
设A 为n 阶矩阵，证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A 的特征值是特征多项式
从而
A 与
的特征值也相同.
6． 设A 为正交阵，且detA=-1, 证明λ=-1是A 的特征值.
【答案】由特征方程的定义因此，只需证
而
是A 的特征值
但根据行列式性质1
，这两个特征多项式是相等的：
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