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一、解答题

1．

设

当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.

【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B

可变形为

即得到线性方程组

若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，

故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时

，

所以方程组的通解为

也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为

其中

2． 设A

为

的解为【答案】

由

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，

则

由

.

得

矩阵

为任意常数. 且

有唯一解. 证明：

矩阵为A 的转置矩阵）.

易知

则方程组

. 即

即有

可逆.

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为可逆矩阵，

且方程组

只有零解.

使

.

所

只有零

有惟一解知

有非零解，即存在

于是方程组

有非零解，这与

3． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

的解.

对

贝腕阵

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

由

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

于是

则既可由

线性表出，也可

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

其中t 为任意常数.

4． 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，

故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且

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所以B 的n

个特征值也为

=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1

重特征值

对于n-1

重特征值由于矩阵（0E-B ）

的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步

矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可

知n

阶矩阵

与相似.

二、计算题

5． 求一个正交变换化下列二次型成标准形

（1

）（2

）

【答案】（1）二次型f 的矩阵为

它的特征多项式为

所以A 的特征值值为

对应特征值

解方程（A-E ）x=0，

由

得单位特征向量对应特征值

解方程（A-2E ）x=0，由

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