2018年吉林大学经济学院396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故 2．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
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又由
得
因与
可知
综上可知
，
3． 已知
有
即
故都是
的解. 由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
，求
【答案】令则
且有
1
所以
4．
已知A
是
矩阵，齐次方程组的基础解系是
与
有非零公共解
，求a 的值并求公共解.
知
的解. 对
贝腕阵
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A 的行向量）是齐次线性方程组
由
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
得到所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为
则既可由线性表出，也可
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由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
于是
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
其中t 为任意常数.
二、计算题
5． 在R 中取两个基
（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； （2
）求向量
【答案】（1）显然有
在后一个基下的坐标；
（3）求在两个基下有相同坐标的向量
所以过渡矩阵为（2
）设向量在后一个基
下的坐标为
则由坐标变换公式，有
（3）设向量Y
在两个基下有相同的坐标
为Y ，则
，
由坐标变换公式并仍记坐标向量
即（P-E ）Y=0.易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩R （P-E ）=3,
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