2018年中国矿业大学(徐州)理学院643数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 利用单调有界原理证明确界原理.
【答案】设S 是非空有上界的数集, M 是S 的一个上界. 若S 有最大值, 则最大值即为S 的上确界. 若S 无
最大值, 任取. 记左半区间为
. 数列
, 将.
然后将单调递增,
,
首先,
有
二等分, 若右半区间含有S 的点, 则记右半区间为二等分,
用同样的方法选记单调递减, 且
,
使得
, 否则
, 如此下去,
得一区间套
中含有S 的点, 在b n 的右侧不含S 的点. 由{an }单调递增有上界, 所以存在
, 往证为S 的上确界.
. 若不然, 则存在
, 使得
, 使得
. 因为
所以存在正整数N ,
使得, 由
知, 当n 充
, 于是在b n 的右侧含有S 中的点, 矛盾, 故是S 的上界. 其次, , 于是存在分大时有
2． 试证明:
二次型
值和最小值恰好是矩阵
的最大特征值和最小特征值. 【答案】设
, 令
, 即为S 的上确界.
在单位球面
上的最大
①x ＋②y ＋③z 结合④式, 得由①, ②, ③知是对称矩阵
的特征值. 又f 在有界闭集恰好是矩阵
上连续, 故最大值、最小值存在, 所以最大值和最小值
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的最大特征值和最小特征值
. 3．
设
在
内二次可微, 求证
:
满足
【答案】令
利用
中值定理得
利用
中值定理得
令则
4． 用
方法证明:
【答案】则
因此,
存在
当
时, 便有
即
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5． 设函数u （x , y ）在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数, 证明
其中
为u （x , y ）沿L 外法线方向n 的导数.
所以
由题意知,
在D 上具有连续导数, 故由格林公式知
因此
【答案】由于
二、解答题
6． 应用高斯公式计算下列曲面积分:
（1）（2）（3）
的表面, 方向取外侧;
（4）（5）【答案】（1）（2）
（3）
由柱面坐标变换
原式=
（4）原式=
（5）原曲线不封闭, 故添加辅助曲面
有
其中S 为单位球面其中S 是立方体其中S 是锥面其中S 是单位球面其中S 为上半球面
.
的外侧; 的表面的外侧; 与平面z=h所围空间区域（
的外侧; 的外侧.
）
.