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一、计算题

1． 某个实际测量系统(LTI系统)

的单位阶跃响应

为系统的时间常数。显

然，它不能瞬时响应被检测信号的变化。试设计一个补偿系统，使得原测量系统与它级联后的输出信号，能对被检测信号做出瞬时的响应，即能准确地表示被检测信号。请给出你设计的补偿系统的特性(单位冲激响应或频率响应) 。

【答案】根据题意，要设计的补偿系统就是该实际测量系统(因果L TI 系统) 的逆系统。因此，先求该实际测量系统的系统函数H(s)

单位阶跃响应s(t)的拉氏变换S(s)为

该实际测量系统的系统函数为

要求的补偿系统的系统函数为

收敛域为有限S 平面。 其频率响应为

单位冲激响应为

2． 某连续时间实的因果LTI 系统的零、极点如图所示，并已知统的单位冲激响应。试求：

，其中邮) 为该系

图

(1)它是什么类型的系统(全通或最小相移系统) ，并求h(t)(应为实函数) ；

(2)写出它的线性实系数微分方程表示； (3)

它的逆系统的单位冲激响应

，该逆系统是可以实现的(即既因果又稳定) 的吗?

【答案】(1)由于该滤波器的零点全部在S 左半平面，因此，该因果系统为最小相位滤波器，由图的系统零、极点分布，可写出其系统函数为

由

，可知

故有

。

最终得到该系统的系统函数及其收敛域为

将上述有理系统函数用部分分式展开得

由于其是因果L TI 系统，其中

，因此，对上述部分分式反拉氏变换得

(2)

由系统函数

，可得

根据单边拉斯变换的微分性质，可得系统输入输出微分方程为

(3)该逆系统是既稳定，又可以因果实现的系统。

该系统的逆系统之系统函数

及其收敛域为

并进一步展开为部分分式，即

这是一个因果稳定的系统函数，对上述部分分式进行反拉氏变换得

因此，该逆系统是既稳定，又可以因果实现的系统。

3． 试确定下列信号的功率，并画出它们的功率谱:

(1)

(2)

(3)

(4)(5)(6)

【答案】信号的平均功率表达式为

若

则

故若

则同理可得

(1)

功率谱密度

功率谱如图(a)所示。

(2)

则功率谱密度

功率谱的图形如图(b)所示。

(3) 则

功率谱密度

功率谱密度如图(c)所示。