2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育(二)之理论力学教程复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 图（a ）所示机构，在水平面内运动，曲柄与连杆均可看作均质杆，OC 杆质量为m ，AB 杆质量为2m , 长度OC=AC=CB=R，滑块A ，B 的质量也为m. 曲柄OC 上连接一扭转弹簧，其扭转刚度系数为k. 不计系统的摩擦，
时系统处于平衡位置，现在A
处作用一周期性谐变力
P 为常值. 求系统产生共振时扭转弹簧的刚度系数
k.
图
【答案】由产生共振的条件，系统的固有频率与干扰力频率相等时才能产生共振，应求出系统的固有频率. 采用拉格朗日方程建立系统运动微分方程的方法求固有频率.
系统具有一个自由度，先分析运动学关系，如图（b ）所示，有
系统的动能为
整理后得
以系统的静平衡位置
为系统的零势能点，则系统的势能为
拉格朗日函数为
将拉格朗日函数代入拉格朗日方程
运算以后整理得
所以系统的固有频率为
由共振时的条件，
得扭转弹簧的刚度系数为
2． 直角形曲柄OBC 绕垂直于图面的轴O 在允许范围内以匀角速度Q 转动，带动套在固定直杆0A 上的小环M 沿直杆滑动，
如图所示。已知速度和加速度。
试求当
时，小环M 的
图
【答案】已知几何关系
所以小环M 的速度和加速度分别为
3． 在图所示系统中，均质圆盘A 、B 重量都是P （质量都为m ）, 半径均为r ，两圆盘中心连线OC 为水平线，盘A 上作用一力矩为M （常量）的一力偶；重物D 重量为Q 。绳重不计，绳不可伸长，盘B 作纯滚动，初始时系统静止。
求:重物D 下落距离h 时重物的速度与加速度。
图
【答案】（1）受力分析和运动分析 A 作定轴转动，其动能为
B 作平面运动，其动能为
D 作平动，其动能为
（2）动能
（3）动能定理
对式①求导得
4． 如图1所示, 三脚圆桌的半径为r=500mm, 重为P=600N。圆桌的三脚A , B 和C 形成一等边三角形。若在中线CD 上距圆心为a 的点M 处作用铅直力F=1500N, 求使圆桌不致翻倒的最大距离a 。
图1
【答案】当圆桌刚好处于不翻到的临界状态时, 如图2所示, 为了避免对力
力
得
的计算, 对AB 轴取矩, 由平衡方程