2018年中国地质大学(武汉)珠宝学院610高等数学之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1．
设
【答案】1 【解析】
知
2．
若二次曲面的方程
【答案】1
【解析】
二次型对应的矩阵为
由题设知矩阵A 的秩为2. 而
，经过正交变换得
则a=_____.
又
均不是零向量，
故
得
则
=_____.
易知a=l.
3．
已知
【答案】1, 7, 7
【解析】解法一按伴随矩阵定义，由代数余子式
知伴随矩阵
是A 的伴随矩阵，那么
的特征值是_____.
那么
所以的特征值是1，7, 7.
解法二由矩阵A 的特征多项式
知矩阵A 的特征值是7，1, 1.
由
因为若
解法三由秩
从而则有
所以
的特征值是1, 7, 7.
知B 的特征值是6, 0, 0. 故A 的特征值是7, 1, 1. 下同解法二.
4． 四阶矩阵A 和B
满足
若则B=_____.
【答案】
右乘A 有2B=BA+6E.
【解析】化简矩阵方程，
左乘于是B （2E-A ）
=6E
二、选择题
5． 设A 、B 为n 阶矩阵，考虑以下命题：①A 与B 等价；②A 与B 相似；③A 与B 合同；A 与B 为正定矩阵.
用“
A.
”表示命题P 可推出命题Q , 则（ ）.
B. C. D. 【答案】C
【解析】若A 、5为正定矩阵，则A 、S 均合同于单位矩阵，从而A 、B 为合同矩阵，而合同的矩阵的秩相同，则有A 与B 等价，故C 项成立，其余三个选项均可构造反例说明其不成立.
6． 下列矩阵中，正定矩阵是（ ）。
A.
B.
C.
D. 【答案】C
【解析】D 项，二次型正定的必要条件是
：
相矛盾.
由
于易
知
与
AB 两项，二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零.A 项中二阶主子
式
B 项中，
三阶主子式
7．
设向量组
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】B 项，由
于
线性无关，
从而部分组
AC 两项，
取
线性相关
线性无关.
线性表示，向量
不能由
线性无关，
向量可由线性无关
线性无关
线性相关
线性相关
线性无
关
线性表示，则必有（ ）。
不能
由线性表示
知令
知
线性无关.
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