2018年中国地质大学(武汉)珠宝学院610高等数学之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1．
已知齐次线性方程组
【答案】-5或-6
【解析】齐次方程组Ax=0
有无穷多解的充分必要条件是程的齐次方程组，
故可以用系数行列式
故a=-5或-6.
2．
已知非齐次线性方程组
现在是三个未知数三个方
有无穷多解，则a=_____.
与同解，其中
则a=_____. 【答案】1
【解析】
所谓两个方程组
解.
对
求出其通解
与
同解，即
把
整理为
因为k 为任意常数，故a=l.
此时方程组
的解全是方程组
由
从解的结构知
是
的通解形式为
与
必同解.
易于验算
是
的解
，
的解. 且当a=l时，
方程组
为
的解全是
的解，
的解也全是代么方程组
的有
的解.
所以
3．
四元齐次线性方程组
【答案】
的基础解系是_____.
易见
秩
那
么
【解析】由齐次方程组的系数矩
阵
故基础解系由两个线性无关的解向量所构成，且每个解中有两个自由变量. 由于
1, 3
两列所构成的二阶子式
令
求出
出
4．
设线性方程组
即
有惟一解
方程组
即
有特解【答案】
【解析】方程组⑴Ax 二b 有進一解，
故
Ⅰ
方程组
故⑵的通解为
其中k 是任意常数.
础解系只有一个线性无关向量组成，
且是
则方程组（2）的通解是_____.
其中k 是任意常数
显然
且
的另一个特解.B 是3X4矩阵，故对应齐次方程组Bx=0的基
再
将
由第二个方程
于是得到解
所以Ax=0
的基础解系是
故可取
求出
令
代入第一个方
程
为自由变量.
再把
求
出
代入第一个方程
由第二个方程
求
于是得到
解
二、选择题
5．
设
A.
如果
B.
如果C.
如果
D.
如果【答案】C
【解析】A 项，如
果
线性无关.
是二维非零向量，则正确命题是（ ）。 线性相关
线性无关，
则
不能用
线性表出，
则
中任意三个向量均线性无关，则
线性相关，
则
线性相关 线性无关 一定线性相关
线性无关
则
BD 两项，
考察向量组
中任意三个向量均线性无关，
但线性相关.
C 项，因为四个三维向量必线性相关，
如若
线性无关，则
必可由
可知线性相
关
线
性表出，
现不能被线性表出，
故必线性相关.
6． 己知m 个n
维向量线性无关，其中各向量中有可能线性相关的向量组是（ ）。
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】AB 两项是对乘除.
C 项是将第1分量变为0,
相当于
线性无关，即方程组
则下列
惟一零解.
作初等行变换，A 项是第1行加到第2行，B 项是第1行
惟一零解矛盾，也应排
倍，不改变方程组解，必仍线性无关.
D 项是增加分量，增加分量仍线性无关，若相关，
这和原方程组
中减少了第1个方程，减少方程有可能使方程组变得有
非零解，即
向量组可能线性相关.
7．
若均是n 阶非零矩阵，且AB=0, 则必有
A.1 B.2 C.n-1
D. 条件不够不能确定
【答案】A
（ ）
【解析】若A 是m ×n 矩阵，B 是n ×5矩阵，且AB=0, 则有 （1） B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解；
⑵秩
由（1
）知对于又因
r （B
）
知有代数余子式又因
有非零解，从而秩即A 中有n-l 阶子式非零.
于是
故必有r （B ） =1.
再根据（2）知
关于r （A ）也可由下面公式确定.