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一、计算题

1． 写出下列级数的前五项：

【答案】

2． 求旋转抛物面

【答案】联立

，得

在三坐标面上的投影.

. 故旋转抛物面在xOy 面上的投影为

如图所示

图

联立

得

. 故旋转抛物面在yOz 面上的投影为由

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及z=4所围成的

区域.

同理，联立

得

. 故旋转抛物面在xOz 面上的投影为由

及z=4所

围成的区域.

3． 画出下列各平面所围成的立体的图形，

⑴x=0，y=0，z=0，x=2，y=1，3x ＋4y ＋2z －12=0； ⑵x=0，z=0，x=1，y=2，

【答案】 ⑴如图1所示；⑵如图2所示

.

图1 图2

4． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，

则

，求f （u ）的表达式。

【答案】设

，则

，则

由条件对方程

，可知进行求解，其通解为

，其中

将初始条件

为任意常数 代入，可得

满足

，

若

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解得

5． 化三重积分

（l ）由双曲抛物面（2）由曲面:（3）由曲面:（4）由曲面。

，故f （u ）的表达式为

为三次积分，其中积分区域

及平面

分别是:

所围成的闭区域;

所围成的闭区域;

所围成的在第一卦限内的闭区域。

在

面上的投影区域由

及平面z=1所围成的闭区域; 及:

【答案】（1）的顶z=xy和底面z=0的交线为x 轴和y 轴，故x 轴、y 轴和直线

因此

所围成。于是几可用不等式表示为

（2）

由

（图1）

和

得

，所

以

在

面上的投影区域

为

可用不等式表示为

因此

图1 图2

（3）由（图2）。于是

消去z ，得

可用不等式表示为

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. 故在面上的投影区域为