2017年长江大学第四纪地质学601高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程令解得
将x=1, y=1, 得
（2
）令
代入上式。得
故所求特解为
则原方程化为
代入初始条件
得
代入初始条件（3）在方程于是
代入初始条件
得
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即
则且原方程化为一阶线性方程
即原方程的通解为
分离变量并积分
从而有
于是
得
有初始条件
即
得C 2=0.故所求特解为两端同乘以
则有
即
故有取
分离变量并积分代入初始条件
即并因时，故上式开方后
得得
故所求特解为
因
即
不
（4）由原方程对应齐次方程的通解为是特征方程的根，故
令
比较系数得并有代入初始条件即
2． 计算抛物线y>0，故有
故所求特解为
故
有
是原方程的特解，并代入原方程，
得且原方程的通解为
从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。
【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设
3． 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力。
0.6]，【答案】如图设立坐标系，取三角形顶点为原点，取积分变量为2，则z 的变化范围为[0，，因此OB 的方程为易知B 的坐标为（0.06, 0.04）
。
，故对应小区间[x，x+dr]
的面积近似值为
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图
记γ为水的密度，则在x 处的水压强为
4． 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ，于是分布在区间[0，x]上细棒的质量m 是x 的函数m=m（x ）。应怎样确定细棒在点x 0处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）?
【答案】在区间[x0，x 0+△x]上的平均线密度为
在点x 0处的线密度为
5． 求空间曲线积分
交线，从x 轴正向看去取逆时针方向。
【答案】解法一：L
的方程是
L 的参数方程是
按L 的定向t 从0到2π，于是代公式得
其中
解法二：L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分。 圆柱面所截平面y=z-1部分记为
，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分，J
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，故压力为
，其中L 是圆柱面与平面的