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一、计算题

1． 设二维随机变量（X , Y ）在矩形

求边长分别为X 和Y 的矩形面积Z 的密度函数.

【答案】因为（X , Y ）服从矩形G 上的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

又因为面积Z=XY, 所以Z 可在区间（0, 2）上取值, 且Z 的密度函数可用积的公式求得

要使以上被积函数大于0

的区域必须是

, 所以当0

2． 某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查, 下面是其不完整的频率分布表:

表

的交集,

此交集为

上服从均匀分布, 试

（1）试将频率分布表补充完整；

（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？ 【答案】（1）由于频率和为1, 故空缺的频率为

（2

）该公司上班所需时间在半小时以内的人所占频率为

该公司有职工

250人, 故该公司上班所需时间在半小时以内的人有人.

3． 某箱装100件产品, 其中一、二和三等品分别为80, 10和10件. 现从中随机取一件, 定义三个随机变量

如下

试求随机变量【答案】因为

和

的相关系数

所以有

由多项分布可导出的联合分布列如下

表

1

譬如,

表

2

由此获得乘积的分布列

所以

由此得

4． 设足

【答案】由于概

率

等价于要

使

, 满足上

述不等式的最小n 可用搜索法获得, 如下表:

表

是来自正态总体的最小n 值.

所以有

分布的0.95分位

数

不大

于

要使上述

即

的一个样本.

是样本方差, 试求满

由此可见, 当就可使上述不等式成立.

5． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门都不及格的占3%.

（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？

B 为“语文不及格”，=0.15，P =0.05，【答案】记事件A 为“数学不及格”，由题设知P （A ）（B ）P （AB ）=0.03.由此得

（1）

6． 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048, 从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为

问这一天纤度的总体标准差是否正常（取

）？

【答案】这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为

此处n=5, 若取显著性水平查表知故拒绝域为

或

由样本数据可计算得到

因此拒绝，认为这一天纤度的总体标准差不正常.

7． 设随机变量X 服从（-1，2）上的均匀分布，记

试求Y 的分布列. 【答案】因为

表

8． 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各任取一粒，求：

（1）两粒种子都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率.

【答案】记事件A 为“从甲中取出能发芽的种子”，B 为“从乙中取出能发芽的种子”.则P （A ）=0.8，P （B ）=0.9.由经验知，事件A 与B 相互独立.

（1）P （两粒种子都能发芽）（2）P （至少有一粒种子能发芽）

（3）P （恰好有一粒种子能发芽）

所以Y 的分布列为

二、证明题