2018年西北工业大学理学院602数学分析之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1．
设
为[a, b]上的连续函数列, 且对任意
有
. 证明:如果
, 对任意正整数k
,
这里不妨设不妨设该收敛子列为由于再由
由于数列, 且设
, 故存在正整数N , 使得
, f （x ）在点X 0连续, 且
, 所以
由保号性, 存在正整数K , 当k>K时有, 矛盾. 从而所以当n>N时
2． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性:若函数域
内与【答案】设续, 所以存在
从而当当
时,
在点
连续, 而且
同号, 并存在某个正数
则存在r , 使使得当
时
任取
使得在其上
即
3． 按
（1）（2）
可见
在
定义证明:
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收及
敛于连续函数f （x ）, 则
【答案】假设
, 使得
在[a, b]上必一致收敛于f （x ）.
在[a, b]上不一致收敛于f （x ）, 则
有界, 故必有收敛子列,
.
. , 由f x ）, 关于n 单调递增趋于（
在[a, b]上一致收敛于f （x ）.
. 则函数使得对任意
取
因为
在点的某一邻
在点处连
时, 有
由上可知存在
上与同号且
（3）
（4）（5
）
【答案】（1
）由于
故对任意的（2）不妨设
只要取. 则
对任意的
只要取
则当
时,
有
（3）
由于
对任意的（4）由于
只要取
则当
对于任意的
时, 有只要取
, 故则当
（5）因为
令
由
得
对于任给
取
则当
故
4． 设
,
,
定义函数
证明:函数f （x , y ）在D 上可积,
且
【答案】因为f （x , y）在D 上的不连续点都分布在线段y=x （件知f （x , y ）在D 上可积. 对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域别为
,
在上任取一点
.
, 则
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, 则当时, 这就证明了:
. 时
时,
有
）上, 由可积的充分条
,
它们的面积分
, 其积分
和为
于是
5． 证明:
【答案】
由于所以上式综上可得
,
是无理数. 由此得
是无理数.
由于
所以存在质数
于是
.
6． 设p 为正整数. 证明:若p 不是完全平方数, 则
【答案】反证法. 假设使得
于是
这与m , n互质矛盾, 所以
是有理数. 由于p 不是完全平方数, 于是存在两个互质的正数m , n ,
且
二、解答题
7． 计算下列各题:
（1）（2）
（3）【答案】 （1）
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