2018年烟台大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
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有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
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（
Ⅱ）
3． 设矩阵
求一个秩为2的方阵B.
使
知
的基础解系，
即为
的特征向量
【答案】令即
取.
进而解得的另一解为
则有.
的基础解系为：
方阵B 满足题意
.
令
4． 证明n 阶矩阵与相似.
【答案】设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
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所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵（
0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵与相似.
二、计算题
5． 设矩阵
【答案】先求x ，y :
因得y=l+x.
因由
再求正交阵P. 对应
解方程（A-5E ）x=0，由
得基础解系
把它们正交化、单位化，得
是A
的特征值，有
与
相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使
相似
，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质
：
5+（-4
）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.
得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A 的特征值为
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