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一、证明题

1． 粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

（常数），

同理，可得

因此：

2． 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

要么自旋朝下

和

即都为自旋分量的本征态。在

所以有：

试证明

的不确定关系

：

这就意味着，此态要么是自旋朝上

这两个本征态中，

测量自旋分量的平无值分别为

二、计算题

3． 考虑在无限深势阱（0＜x ＜a ）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，写出体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。 【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：

（1）基态：

空间部分波函数是对称的

：自旋部分波函数是反对称的：总波函数为：

（2）第一激发态：空间部分波函数：

自旋部分波函数：

二电子体系的总波函数为：

基态不简并，第一激发态是四重简并的。

4． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

也属于正幂次级数，故有定态方程

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而

式中：

则I 式可以化为：令

上方程可化简为

式解得

5． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

则

其中C 为归一化常数。

与时间无关.

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴

取式（1）之复共轭，得

得

对全空间积分： 即

所以与时间无关. （2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以

因此，通解可以表示为