2018年北京师范大学物理学系959量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
（常数），
同理，可得
因此：
2． 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
要么自旋朝下
和
即都为自旋分量的本征态。在
所以有：
试证明
的不确定关系
：
这就意味着，此态要么是自旋朝上
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
二、计算题
3． 三个自旋为的全同粒子，在一维位势中运动。
表
（1
）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以示）。
（2）它们的简并度分别是多少？ 【答案】（1）基态
第一激发态：
（2）基态二重简并，第一激发态四重简并。
4． 已知氢原子在t=0时如下处于状态：
其中，
为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出t
将t=0时的波函数写成矩阵形式：
＞0时的波函数。
【答案】已知氢原子的本征值为：
利用归一化条件：
于是，归一化后的波函数为：
能量的可能取值为
相应的取值几率为：
能量平均值为：
自旋z 分量的可能取值为
相应的取值几率为：
自旋z 分量的平均值为：
f>0时的波函数为：
5． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2
个全同费米子（
表示出体系可能的状态。
【答案】（1）全同粒子系的波函数
：随时间演化的动力学方程
：（2）用
对称性波函数
；
反对称性波函数。其
）组成的体系，
设可能的单粒子态为
试用
表示出体系可能的状态如下：
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