2018年北京师范大学物理学系742物理专业综合之量子力学导论考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
2． 证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故
与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
二、计算题
3． 与电子一样，中子的自旋也是，并且具有磁矩旋角动量，如果中子在相互垂直的两个磁场可能值，对应的几率和平均 值分别是多少？ 【答案】该体系中：
在
表象中设归一化的本征函数为
则有（能量本征值为）：
和
其中是一个常数，是中子的自中运动，求该体系的能级和波函数，
当能级之间发生跃迁时，可能的跃迁频率有几个，大小是多少？在各本征态中，自旋第三分量的
久期方程为：从而可得：
对应能量本征值. 的本征函数满足：
不妨设则此时满足的解为：
同理可得，
对应能量本征值的本征态为：
当发生能级跃迁时，可能的跃迁频率有两个，为（2）在
表像中，
的本征态为：
所以，在
态中：
的几率为：
的几率为：
其平均值为：在
态中：
的几率为：
的几率为：
其平均值为：
4． 考虑一维双势阱：
（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.
【答案】（1）薛定谔方程可表示为
其中
求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本
OT 为粒子质量，
为方程的奇点，在x=a
点处
不存在，表现为
不连续。
对上述方程积分得出
（2）由题意知当x ＞a 时
，当-a ＜x ＜a 时，
其中
其中考虑到束缚态，因此解为
考虑到偶宇称，因此解为
结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得
化去A , C后可得，
此即能量本征值所需要满足的方程
.
图
所以满足此方程的本征值只有一个.
5． （1）求算符【答案】⑴
即算符⑵则
的对易关系. （2）证明其中
不对易.
得证.
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