2018年北京师范大学物理学系742物理专业综合之量子力学导论考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． （1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符
证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.
因为存在
数
（2）证：因为而（3）因为
所以
即正交
而
所以
设本征方程为
其中为本征值，上式可改写为
易解出
C 为积分常数，可由归一化条
即为厄米算符。
具有周期性，
所以
即本征值为实
【答案】（1）证：对于厄米算符
件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，
由此可得数记为
即为其本征函数. 相应的本征方程为
即角动量z 分量的本征值为
是量子化的，相应本征函
再利用归一化条件可得
2． —粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意
试证明这两个波函数对应的态矢正交.
是束缚态的波函数，
并在方程两边同时积分
又
则
则由正交归一化条件有
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为
态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有此即
亦即两个波函数对应态矢正交.
二、计算题
3． 设已知在，值为
的共同表象中，算符
的矩阵分别为
试在取
的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.
设
的本征态矢为
则由
【答案】可能取得的值有可以解得同理由
为
4． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成
所需的最短时间
可以解得
概率为
时态矢为
概率为
态矢
平均值为
即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.
（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.
【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：
任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由
得，
在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为
（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设
时刻粒子的波函数是
处于第一激发态的几率
即
可得
所以当n=l时有最小时间，即
解得
5． 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方对应总的自旋平方
本征值为
空间部分波函数对称时分别针对空间部分波函
的本征值为
本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为
数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符
）。 【答案】利用应能量：
对应能量：
可知，空间部分波函数反对称时：
对
空间部分波函数对称时：