2018年北京师范大学物理学系742物理专业综合之量子力学导论考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明，
【答案】因为
可得：
2． 处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：
其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：
其中，显然有
设：
于是有：
其中：
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为电子动量算符，算符定义为且和B 都
为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。
同理，有:
因此，有：
利用类似的方法，可得：
因此，有：
综上所述，可以得到
也即
故为体系守恒量，得证。
二、计算题
3． 考虑自旋为的系统。 （1）试在
表象中求算符
的本征值及归一化的本征态。其中
是角动量算符，
而4、5为实常数。
（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。 【答案】（1）设设本征值为
有
则在
设
解得本征态为：
（2）在
表象中，
的本征态为
故发现
的概率为：
4． 算符
相应的本征矢在表象中的表示。 【答案】因为
如
则
故
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表象中
为归一化的本征态，
则由本征方程
是电子自旋算符经么正变换而得。试求出它的本征值和
所以，它的本征值为相应的本征值在表象中的表示：
本征值为本征表示为
本征值为本征表示为
5． 若是电子的自旋算符，求： （1）（2）【答案】⑴或者：（2）
6． 自旋为的一定域电子在均匀磁场子处 在
的本征态上，求t ＞0时测量
中运动，磁作用势为的可能取值及相应的几率。
设t=0时刻，电
【答案】的本征态矢与本征值为：
任意t 时的态矢为：
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