2017年华北电力大学(保定)数理系807高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
则（ ）.
【答案】B
【解析】由已知，有
于是
4．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
到
基
的一组基, 则由
基
【答案】（A ）
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
则线性方程组（ ）•
二、分析计算题
6． 设
证明： （1）
（2）任意多项式f （x ）用【答案】（1）设
是n 个不同的数，而
除所得的余式为
是一个次数不超过的多项式，
而且
（2）对任意多项式f （x ）, 设
那么
由余式的惟一性及r （x ）（不等于0时）的次数，即得
7． 设A 为n 阶非数量矩阵. 证明：
（1）若（2）若【答案】（1）设
且a ，b ，c 不全为0，则
.
所以根据定理
若c=0，则aA=-bE.这与a ，b ，c 不全为0且A 非数量矩阵矛盾，因此反之，若（2）由 8． 设
在
是一个n 级正定矩阵，而
中定义内积
为
（1）证明在这个定义之下，（2）求单位向量阵；
（3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式. 【答案】（1）
因为A 正定，所以
当且仅当
时，
所以这样的
成一欧氏空间；
则由假设可得得A （A —E ）=0.若
从而
则得A=E.这与A 非数量矩阵矛盾. 故
的度量矩
满足内积的条
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