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一、分析计算题

1． 在欧氏空间中有三组向量的,

和

【答案】对每一个, 有

和

如果

是线性无关均

都是两两正交的单位向量组, 并且对一切

证明由题设, 可令

这

里由⑴、⑵可得

（3）由于上三角矩阵曰的逆矩阵是上三角矩阵. 令

.

且

'

时

仍是上三角矩阵, 且上三角阵的乘积仍是上三角阵,

所以

. 由于两两正交的非零向量组线性无关,

且

线性无关, 所以A , B 均可逆.

考虑到角, 2．

及均为规范正交组, 所以C 是正交矩阵, 即有

且定义

. 结合（3）, 命题得证.

这里为下三

为上三角, 所以

对

试证对偶基.

都是V 上线性函数, 并找出V 的一组基

都是使得

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使是它的

【答案】易证令

上线性函数.

即有

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解得出

同样可算出

满足

由于

是V 的一组基, 而

3． 设

是它的对偶基.

A 为三阶实对称矩阵

，且满足已知A 的秩

（

1）求A 的全部特征值

； （2）当

k 为何值时，矩阵

【答案】 （1

）

为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵.

为A 的一个特征值

，对应的特征向量为。，则

于是

由条件

推知

又由于

因为实对称矩阵A 必可对角化，且秩

所以

故矩阵A 的全部特征值为

（2）解法1矩阵

仍为实对称矩阵. 由（1）知，

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故有

的全部特征值为

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于是当时，矩阵的全部特征值大于零. 故矩阵为正定矩阵.

解法2实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得

于是

所以

而

又因为

正定，所以其顺序主子式均大于0, 即

因此，当 4． 设

为数域K 上全体n 阶方阵作成的

维线性空间, 又

的对角方阵时, C （A ）是几

的充要条件为何？

则

于是

因此, C （A ）作成子空间.

元素是1其余元素全为0的方阵）显然

A 为数（纯）量方阵.

②由于与A 可交换的矩阵能且只能是对角矩阵, 故此时C （A ）为由K 上全体n 阶对角方阵作成的子空间, 从而其维数为n 且为其一基, 又易知: 5． 设①证明:

中与A 可交换的全体方阵作成子空间（这个子空间记为C （A ））. 时，矩阵

为正定矩阵.

②问:当A 是主对角线上元素为维的？并给出其一基, 又问:

【答案】①C （A ）显然非空, 又若

n 阶行列式

求D 展开式的正项总数.

【答案】由于D 中元素都是±1, 因此D 的展开式中正项总数为P , 负项总数为q ，那么有

项中，每一项不是1就是

, 设展开式

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