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一、计算题

1． 指出下列事件等式成立的条件.

（1）（2）AB=A. 【答案】⑴（2）

服从正态分布

. 记为

2 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量, 设各次测量结果．

测量多少次？

【答案】因为

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

或

由此查表得的差异小于0.1.

3． （泊松大数定律）设的概率为

, 从中解得

n 次测量结果的算术平均值, 为保证有95%的把握使平均值与实际值a 的差异小于0.1, 问至少需要

, 所以根据题意可列如下不等式

, 取n=16即可以95%的把握使平均值与实际值a

为n 次独立试验中事件A 出现的次数, 而事件A 在第i 次试验时出现

则对任意的

, 有

【答案】记

则

所以由切比雪夫不等式, 对任意的

有

即

4． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 试在以下情况下求

（1）X 与Y 都服从参数为p 的几何分布； （2）X 与Y 都服从参数为（n , p ）的二项分布. , 所以【答案】（1）因为X+Y服从负二项分布Nb （2, p ）由此得,

当

时,

注:在（2）因为

的条件下, X

等可能的取值

所以

,

注:此题说明, 在X+Y=m的条件下, X 服从超几何分布. 如果将此题改

成

且X 与Y 相互独立, 则可得

5． 某组装产品内有部分噪音很大的次品，很伤脑筋，产生次品的原因似乎是由于这种组装品的某个部位的间隙过大引起的，为检验这个认识是否正确，特从正品A 和次品八2中各抽出8个，对其间隙进行了测量，测量数据如下（单位：μm ）

表

1

在正态分布假设下请对

中的间隙的均值间是否存在显著差异进行检验（取

）.

【答案】这是单因子（间隙）二水平等重复试验，其均值比较可用两种方法进行检验. 方法一，方差分析法，具体操作如下.

（1）计算各个和：（2）计算各个平方和：

（3）列出方差分析表：

表

2

（4）判断：若给定显著性水平于

方法二，双样本t 检验.

可查得拒绝域为由

故因子A 显著，即正品与次品的该部位的平均间隙有显著差异.

在正态总体方差相等的条件下两均值的比较还可用双样本的t 检验. 检验统计量为

其中

是两样本量，

是两样本均值，

如今由样本可算得

对给定显著性水

平

由于

拒绝域

为

查表

得

分

故应拒绝两均值相等得假设，此结论与方差分析相同.

这里两种检验的结果相同的现象不是偶然的，因为自由度为的t 变量的平方就是

布，因此这两个方法是等价的. 其临界值亦有即

6． 用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示.

表1 安眠药试验数据