2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
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2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计复试实战预测五套卷（一） . 2 2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计复试实战预测五套卷（二） . 9 2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计复试实战预测五套卷（三） 16 2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计复试实战预测五套卷（四） 21 2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计复试实战预测五套卷（五） 26
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一、计算题
1． 设
, 试问n 应该多大, 才能满足
【答案】因为
所以由中心极限定理得
即所以得
查标准正态分布函数值表得, 取n=664即可满足要求.
2． 求下列分布函数的特征函数, 并由特征函数求其数学期望和方差.
（1）（2）
【答案】（1
）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为
又因为
所以
（2）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当t>0时, 有
所以当而当
时, 有时, 有
所以
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又因为
3． 设
（1）求θ的
在t=0处不可导, 故此分布（柯西分布）的数学期望不存在. 为独立分布同分布变量，
并问是否是无偏的；
（2）求θ的矩估计【答案】（1）
（3）计算θ的无偏估计的方差的C-R 下界.
的密度函数可表示为
因此，相应的对数似然函数为
关于θ求导并令其为0, 可得，
解之有
注意到
有
其中
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故（2）因为（3）
关于θ求导，得
所以，θ的无偏估计的方差的C-R 下界为
4． 设
不是θ的无偏估计.
所以θ的矩估计为
为独立同分布的随机变量序列, 其共同的分布函数为
试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？
【答案】此为柯西分布的分布函数, 而柯西分布的数学期望不存在, 因为辛钦大数定律要求数学期望存在, 所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.
5． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为
（1）确定常数c ； （2）写出X 的分布函数；
（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时，当
时，
当x>0.5时，所以X 的分布函数为
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