2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
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2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计考研复试核心题库（一） . .... 2 2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计考研复试核心题库（二） . .... 7 2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计考研复试核心题库（三） . .. 12 2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计考研复试核心题库（四） . .. 17 2017年北京理工大学数学综合数学基础知识之概率论与数理统计考研复试核心题库（五） . .. 22
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一、计算题
1． 有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%, 为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3名大学毕业生，取成年人中的大学毕业生人数，则
检验的拒绝域为
若取
问该人看法是否成立？并给出检验的P 值.
待检验的一对假设为
由于
由于观测值为3, 未落入拒绝域中，所以接受原假
【答案】这是关于比例的假设检验问题，以p 表示成年人中的大学毕业生比例，X 表示15名
故取c=l，从而检验的拒绝域为设，不能否定该人的看法.
此处计算检验的P 值更容易一些，事实上，若以X 表示服从二项分布b （15, 0.3）的随机变量，则p 值为
这个p 值不算小，故接受原假设
是恰当的.
2． 设随机变量X 服从（-1，2）上的均匀分布，记
试求Y 的分布列. 【答案】因为
表
3． —本500页的书共有500个错误，若每个错误等可能地出现在每一页上（每一页上至少有500个印刷符号）. 试求指定的一页上至少有三个错误的概率.
【答案】设X 为指定一页上错误的个数，贝U
且p=l/500.所求的概率为
利用二项分布的泊松近似，取
于是上述概率的近似值为
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所以Y 的分布列为
4． 设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布, 定义随机变量X 如下:
求
和
的联合分布列.
的联合分布列共有如下4种情况:
所以
的联合分布列为
表
【答案】
5． 设二维随机变量u , n 的联合密度函数为
求【答案】
的非零区域与
的交集为图阴影部分, 所以
图
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6． 设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为的相关系数
求二维随机变量（X ，F ）的联合概率分布；求概率
且X ，Y
【答案】由于X ，Y 的概率分布相同，故
显然
相关系数
所以故又而
的联合概率分布：
所以故
从而得到故得到（X ，F ）
（2）
7． 设事件A ，B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4，求P . （A ）及P （B ）
【答案】由题设知
又因为A ，B 独立，所以由
解得P （A ）=P（B ）=0.5.
8． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.
【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，由此得S=A.又由事件A 与B 的对称性知P （A ）=P，因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用. （B ）
二、证明题
9． 设证:
【答案】注意到
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为一个样本,
是样本方差, 试
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