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一、计算题

1． 设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6，P （B ）=0.8，问：

（1）在什么条件下P （AB ）取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P （AB ）取得最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）因为时，P （AB ）的最大值是0.6.

（2）因

为

而当

时，有P （AB ）达到最小值0.4.

所以有

所以当P （AB ）=P（A ）

2． 设某厂大量生产某种产品, 其不合格品率p 未知, 每m 件产品包装为一盒. 为了检查产品的质量, 任意抽取n 盒, 查其中的不合格品数, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.

【答案】总体为该厂生产的每盒产品中的不合格品数；样本是任意抽取的n 盒中每盒产品的不合格品数；样本中每盒产品中的不合格品数为

的分布为

3． 设二维离散型随机变量（X ，Y ）的概率分布为

表

1

因其中

,

所以样本

求： （I ）

（II ）

【答案】

表2 表3

（I

）（II

）

故

4． 设随机变量X 的概率密度函数为

对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π/3的次数，求【答案】因为事件“观察值大于；π/3”可用而Y 的分布列为

所以

5． —个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.

【答案】解法1 记P 为罐子中白球的比例，令Xi 表示第i 次有放回抽样所得的白球数，

则

，故p 的最大似然估计为

因为黑球数与白球数比值

根据最大似然估计的不变性，有

对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为

的数学期望.

表示，从而

解法2 设罐子里有白球1个，则有黑球R1个，从而罐中共有（1+R）1个球.

从中有放回的抽一个球为白球的概率为

从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布

表

中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为

， 其对数似然函数为InL （R ）=（n-k ）lnR-nln （1+R）将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得

所以

由于其对数似然函数的二阶导数为

是R 的最大似然估计.

即罐中黑球数与白球数之比的最大

譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计

似然估计为4, 若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球为8个等.

6． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 试在以下情况下求

（1）X 与Y 都服从参数为p 的几何分布； （2）X 与Y 都服从参数为（n , p ）的二项分布. , 所以【答案】（1）因为X+Y服从负二项分布Nb （2, p ）由此得,

当

时,

,

注:在（2）因为

的条件下, X

等可能的取值

所以

注:此题说明, 在X+Y=m的条件下, X 服从超几何分布. 如果将此题改成