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一、计算题

1． 已知

【答案】由乘法公式知

所以

2． 一批产品中有

的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率.

，所求概率为

3． 有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然而从该箱中先后任取两个零件，试求:

（1）第一次取出的零件是一等品的概率；

（2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率. 【答案】记事件为“第i 次取出的是一等品”，i=l, 2. 又记事件2.

（1）用全概率公式

（2）因为

所以

4． 设二维随机变量

的联合密度函数为

（1）试求常数k ; （2）求【答案】（1）

的非零区域如图 （a ）阴影部分. 由

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，

求

【答案】记X 为取出的3件产品中的不合格品数，则

为“取到第i 箱”，i=l，

解得k=6.

（2）P （x ，y ）的非零区域与的非零区域与事件

的交集为图（b ）阴影部分，所以

，又因为P （x ，y ）

的交集为图（c ）阴影部分，所以

图

5． 设

，试证:

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

的可能取值范围为

.

且

是区间

上的严格

单调增函数，其反函数为. . 所以Y 的密度函数为

这正是

6． 设律？

【答案】因为

的密度函数.

服从参数为

的泊松分布，试问

是否服从大数定

为独立的随机变量序列，其中

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

7． 测试在有精神压力和没有精神压力时血压的差别，10个志愿者进行了相应的试验，结果为（单位:mmHg 收缩压）:

无精神压力时

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有精神压力时

是否该数据表明有精神压力下的血压的确增加？ 【答案】对此问题首先明确要检验的一对假设为:

有无精神压力下的血压不变

的10个观测值，为

（1）若假定增加值服从正态分布，可通过对增加值做单样本t 检验进行. 一对假设为

故可算出检验统计量值为

由数据可计算得到

，于是检验的p 值为

p 值小于0.05, 可认为有精神压力下的血压的确增加了. （2）由于

正数的个数为8, 从而检验的p 值为

，

先给出血压增加值:有精神压力下的血压有增加为此，

p 值大于0.05, 在显著性水平0.05得不到显著的结论，即不能认为有精神压力下的血压的确增加了.

（3）由于负的差值只有一个，其秩分别为4, 故符号秩和检验统计量为这是一个单边假设检验，检验拒绝域为查表可知的确增加了.

三者结果并不完全一致.

8． 设随机变量X 在区间（0, x ）上服从均匀分布, 求:

（1）条件概率密度（2）概率

.

的条件下Y 的条件概率密度分别为:

故当

时, 随机变量x 和y 的联合概率密度为

在其他点当

处, 有

时, Y的概率密度为

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， 下，

, 在给定n=10，

观测值4落入拒绝域，故拒绝原假设，可以认为有精神压力下的血压

上服从均匀分布, 在；

的条件下, 随机变量Y 在区间

【答案】 （1） x 的概率密度与在

即.