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一、分析计算题

1． 若实4维向量空间V 的子空间

试求

【答案】解法

是如下齐次线性方程组的解空间

解之得一个基础解系设

则

所以

其一个基础解系为：

所以

为其一组基.

解法2考虑到所求正交补空问即为系数矩阵A 的行向量生成的子空间. 由

可知

的一组基为

与等价，

（1）求

的标准形；

的一组基.

2． 设3阶方阵A 的特征矩阵，

（2）求A 的若当标准形. 【答案】（1）由故A 的初等因子为所以

的标准形为

（2）据A 的初等因子可得A 的若当标准形为

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与等价知，与等价.

从而A 的不变因子为

3． 求一个次数最低的实多项式，使其被

除佘式为x+1，被

【答案】设f （x ）为所求，由带余除法定理知，存在多项式g （x ），h （X ），使得

，显然令取x=i代入（1-18）得于是a=3，b=l.直

接验证可知

为所求.

4． 设

（1）计算

为正定矩阵，其中A ，B 分别为m 阶对称阵和n 阶对称阵，C 为其中

是否为正定矩阵，并证明你的结论. 有

（2）矩阵

是正定矩阵. 由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵

又因为D 为正定矩阵，所以矩阵M 为正定矩阵. 再由矩阵M 为对称矩阵，知对称矩阵

.

即证

也是矩阵.

（2）利用（1）的结果判断矩阵【答案】（1）由

5． 证明:在线性空间中，其中条件（3）和条件（4）, 即

（3）在V 中存在零元素（4）对所有的【答案】充分性. 由解，设

为

即

于是

由交换律知

即V 中存在零元素

即对所有的

一定存在

在V 中有解，设为

由

有

由

都存在负元素

取定

可换成等价条件：对于V 中任意两个元素

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由方程在V 中有解，设为则由交换律得即条件（4）成立. 因为

必要性. 对于V 中任意两个元素故

在V 中有解.

. 设a 的负元为Y ，则

6． 证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和.

【答案】设A 是一个秩为r 的n 级对称矩阵，则有可逆矩阵C 使

其中1的个数等于A 的秩. 用表示对角线上第i 个元素为1, 其余地方都为0的n 级矩阵，则

因为因此

的秩等于1，而

为可逆矩阵，所以上式中的

是对称矩阵. 因此A 可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和.

7． 设A 是n 级实对称矩阵. 证明:存在一正实数c 使对任一实n 维向量X 都有

【答案】根据本章习题10, 有正实数是正定矩阵，因此有正实数c 使

.

都是正定矩阵.

于是对任一个n 维实向量X ，都有

因此

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的秩等于1，而且

使