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一、分析计算题

1． 设U 是由

生成的

（1）U+W： （2）

的维数与基底.

可得

由于

且（2）令

因为秩再令故

的一组基.

所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：

，则

2． 已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解.

（1）证明方程组系数矩阵A 的秩（2）求a ，b 的值及方程组的通解. 【答案】（1）设次线性方程组AX

=0的两个线性无关的解，因而

因 此

（2）对增广阵A 施行初等行变换，有

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生成的

的子空间，求

的子空间，W

是由

【答案】（1）令

所以

为

故

的一个极大线性无关组，因此又可得

为U+W的一组基.

是其对应的齐

是该线性方程组的三个线性无关的解，则

即

又显见A 的前两行线性无关，

于是

因

故

解得

此时

可得方程组通解为

为任意常数.

3． 试求满足

【答案】设

的一切二阶方阵A.

则由

可得

由（2）得

若

则由（1）得

于是得A 为

b ，c 为任意数；

若

则

由（1）又得a=0，1; d=0，1. 故a=d=0或a=d=l.即此时A=0或E.

4． 设3阶实对称阵A 的特征值是1，2, 3.矩阵A 属于特征值1, 2的特征向量分别是

（1）求A 属于特征值3的特征向量；

（2）求矩阵A.

【答案】（1）没A 属于特征值3的特征向量为

由于A 是实对称阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以有

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由齐次方程组①得基础解系

这里a 0就是A 属于特征值3的特征向量. （2）令

则由可得

5． 设A 是n 级实对称矩阵，且

证明存在正交矩阵T 使得

【答案】由可知A

的特征值或1. 因此有正交矩阵T 使

其中1的个数等于A 的特征值1的重数.

6． 已知3阶矩阵A 的第一行是（a , b ，c ），a ，b ，c 不全为零，矩阵且AB=0, 求线性方程组AX=0的通解.

【答案】由于AB=0, 故

当k ≠9时，r （B ）=2, 于是r （A ）=1;

当k=9时，r （B ）=1，于是r （A ）=1或r （A ）=2. 对于

由AB=0可得

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（k 为常数），

又由a ，b , C 不全为零，可知