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一、分析计算题

1． 设

为全部n 次单位根，证明：

个乘积之和为零.

【答案】①因为

故②当当

时，由

可得

从而

时，令为n 次原根且

且

故③

由

个乘积之和为零.

2． 证明：以下诸多项式在有理数域Q 上不可约：

①②③④⑤⑥⑦⑧

（P 为奇素数）；

（P 为素数）；

（P 为素数）； （P 为素数）.

从而由（1）即得证.

及根与系数的关系即知，

根

中所

有

则

但此时

代入即得.

【答案】用f （x ）表示所给的各多项式. ①利用艾森斯坦判别法，取P=3即知. ②利用艾森斯坦判别法，取P=2即知. ③反证法. 设若式相乘，设 为

在Q 上可约，由于其显然无有理根，故只能分成两个二次因

或

其中a , b为整数，比较（6）式两端系数，得6=0, d+2 =-10. 由此得④因为⑤由于

且不可约.

⑥当P=3时在Q 上不可 约. 当

且⑦ 由于

这与a 是整数矛盾.

同理，由（7）可推出类似矛盾，故f （x ）在Q 上不可约.

故由艾森斯坦判别法（取P=2）知，g （x ）在Q 上不可约，故f （x ）亦然.

故由艾森斯坦判别法知，g （x ）在Q 上不可约，从而f （x ）在Q 上

若f （x ）在Q 上可约，则必有整数根，但易知其无整数根，从而

时，由于

故g （x ）在Q 上不可约. 从而f （x ）在Q 上也不可约. 故令

得

由于从而⑧因其中

在Q 上不可约.

故g （y ）在Q 上不可约.

都能被P 整除，又

故

在Q 上不可约，

从而f （x ）在Q 上不可约.

3． 如果a 是的一个k 重根，证明a 是

的一个k+3重根. 【答案】

因为a 是因此a 是

的一个

的一个k 重根，所以a 是

重根.

的一个k+1重根. 又因a 是

及

的根，

4． 已知的线性变换丁在基

求T 在基【答案】设由基

到基

下的矩阵为

下的矩阵及T 的值域与核.

的过渡阵为X ，即

即

所以T 在

下的矩阵

先求T 的值域：

又

对B 作初等变换，有

所以B 的秩为3, 由

可得

因而

为TV 的一组基再求A 的核知故

由

且

5． 求除/（x ）的商与佘式 证明:设

并设f （x ）被并记余数为r ，则

除所得的商式为