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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 采用双线性变换法设计一个二阶巴特沃斯数字低通滤波器，要求采用预畸变措施修正频率的非线性失真。已知二阶归一化巴特沃斯模拟滤波器的传递函数为：

已知系统抽样频率为

滤波器的通带截止频率方

请解答下列问题：

（1）数字低通滤波器的通带截止频率是多少?

（2）设计出满足要求的数字滤波器的系统函数的表达式（大于1的数近似成整数）; （3）写出相应的差分方程，并画出系统的直接型网络结构流图。 【答案】（1）己知系统抽样频率为1000Hz ，滤波器的通带截止频率方通滤波器的通带截止频率为:

（2）采用预畸变措施修正频率的非线性失真:

所以系统函数为：

（3）因为系统函数为：

对上式求Z 逆变换得差分方程为：

即：

由上式得直接型结构流图如图所示：

，所以数字低

图

2． 求下列序列的Z 变换及其收敛域，并画出零极点示意图。 （1）双边指数序列（2）正弦调制序列

【答案】（1）双边指数序列可写为

其Z 变换为

是一个双边序列，

其收敛域为

点为z=0。其极点、零点图如图（a ）所示。其中x 表示极点，（2）图。 其Z 变换为

收敛区域为

极点为

1

零点为

其对应的零极

点图如图（b ）所示。

表示零点。

我们将其分解为极点为

零

标准的指数序列形式，然后根据Z 变换的求和定义式求得其对应的Z 变换、收敛域并画出零极点

图极点、零点图

3． 证明离散帕塞瓦尔定理。若

，则

【答案】

4． 已知得到

【答案】

的主值序列为：

012345

将

逐次向右移位就得到名

在主值区间与

对应相乘并相加就得到周期卷

积。下面是周期卷积在主值区间的各个值。

5． 仔细观察图1:

禾

将这两个序列以周期N=6分别作周期延拓

求这两个周期序列的周期卷积在主值区间的值。

图1

（1）这是什么类型具有什么特性的数字滤波器？ （2）写出其差分方程和系统函数； （3）求

处的系统幅度频响；

为奇对称，

为偶数，所以是线性相位的

适合用做希尔伯

（4）画出其相频特性曲线。 【答案】（1）根据题意特滤波器及微分器。