2017年北京市培养单位数学与系统科学研究院801高等代数考研题库
● 摘要
一、填空题
1． 将
【答案】
【解析】积分域如下图所示，则
化为极坐标下的二次积分为_____。
2． 曲面
【答案】
图
和平面y=0的交线绕x 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为_____。
绕x 轴旋转一周所得的曲
所确定的函数
在点
处的全微分
【解析】本题可看作是在在二维坐标系xOz 中，求解曲线面方程，则所求旋转曲面方程为
3． 由方程
_____。 【答案】【解析】构造函数
，则
将（1, 0，-1）代入上式得
故
4． 已知向量_____。
【答案】1
。
则当c 满足条件a=b×c 时，r 的最小值为
【解析】由题意知，令，则
又，则，故
要求r 取最小值，则可求
的极值。故令且 5．
设
，解得
时，r 取到极小值，也是最小值，此时r=1.
为曲
线，从z 轴正向往z 轴负向看去为顺时针方向，
则
_____。
【答案】-2π
【解析】解法一：用斯托克斯公式计算，取为平面手法则
取下侧
上包含在
内的部分，按右
解法二：写出曲线参数方程化为定积分计算。由
知
解法三：将空间线积分化为平面线积分，然后用格林公式。
，则原曲线方程为
设C 为圆顺时针方向，由知，将其代入
得
上任一点到球面
则
【答案】【解析】
分别是两球面上的点）。
_____，其中
6． 设C 是从球面曲线
上任一点的任一条光滑
。
二、计算题
7． 作适当的变换，计算下列二重积分:
（1
）
, 其中D 是平行四边形闭区域，它的四个顶点
是
;
（2）象限内的闭区域:
（3）（4）
, 其中D 是由x 轴、y 轴和直线x+y=1所围成的闭区域;
, 其中
【答案】（1）令
，则依次与
成
平面上与D 对应的闭区域于是
的边界。
（图）
其中D 是由两条双曲线xy=1和xy=2，直线y=x和y=4x所围成的在第一
。
。在这变换下，D
的边界
对应。后者构