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一、计算题

1． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率θ（即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使先知道

结果又是如何?

是来自二点分布b （1, θ）的一个样本，就是样本中购买此种商品的顾

是θ的置信水

平为0.95的置信区间? 其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事

【答案】设

客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，

在θ未知时，有

从而

即

这说明

区间的长度不超过2d ，即得

若α=0.05，

对第二个问题，当己知时，由于

在

当d=0.01, 0.02, 0.03时可分别算得

（或已知

是增函数，所以

样本量

，处理方法完全一样））

从而

这说明

信区间. 类似地，要求该置信区间的长度不超过2d ，即得到

譬如，

若已知

（即

）则

是θ的置信水平1-α的置

于是关于样本量的要求化为

与θ完全

是θ的置信水平1-α的置信区间. 要求该置信

随d 的增加（精度减少）迅速降低.

仍取α=0.05，当d=0.01, 0.02, 0.03时分别算得

那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.

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未知情况相比样本量约减少25%, 由此可见，若对θ事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过

2． 根据调查, 某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位:千元）:

试画出箱线图.

【答案】这批数据n=48, 最小值为第三四分位数分别为

于是可画出箱线图如图

图

3． 设随机变量X 的密度函数为

试求

的数学期望.

最大值为

中位数、第一四分位数和

【答案】

4． 如果一个矩形的宽度W 与长度1的比

这样的矩形称为黄金矩形（看

上去很舒服）. 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值

.

设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为u ，试检验假设

（取

）

【答案】这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知，

故拒绝域为

若取显著性水

平

s=0.0918，由此，检验统计量

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查表

知经计

算

由于t 值落入拒绝域内，因此在显著性水平

5． 对给定的n 组数据可以建立如下回归方程

反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程

试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，试给出交点的坐标.

【答案】一般不重合. 因为回归方程

可化为

而

化为

当且仅当数据

时两条直线重合. 我们知道，

表示相关系数的绝对值为1，即n 组

1，2，…，n 在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重合”.

下拒绝原假设.

若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则

不重合时，

它们一定有交点

6． 设二维离散型随机变量（X ，Y ）的概率分布为

表

1

求： （I ）

（II ）

【答案】

表2 表3

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