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一、选择题

1． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此

线性相关，所以线性相关，故选A.

则线性方程组（ ）•

于是

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】 3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

则A 与B （ ）.

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

使

且由①式得

因此A 与B 合同.

4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

分别为A ，B 的伴随矩阵，

.

则

也不是线性变换，

比如给

5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

二、分析计算题

6． 设A 为n 阶方阵，证明：

【答案】因为

所以

故

7． 设

证明：

的充要条件是

【答案】

8． 设

其中当

证明：与A 可交换的矩阵只能是对角矩阵.