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一、计算题

1． 设随机变量X 服从区间（0，2）上的均匀分布，（1）求

【答案】X 的密度函数为

（1）其反函数为

的可能取值区间为（0，4）. 因为

所以

在区间（0，2）上为严格单调增函数，的密度函数为

（2）

2 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量, 设各次测量结果．

测量多少次？

【答案】因为

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

或

由此查表得的差异小于0.1.

3． 设

【答案】

的联合密度函数为：

, 从中解得

, 取n=16即可以95%的把握使平均值与实际值a , 所以根据题意可列如下不等式

服从正态分布

. 记为

的密度函数；（2）

n 次测量结果的算术平均值, 为保证有95%的把握使平均值与实际值a 的差异小于0.1, 问至少需要

求a 和的UMVUE.

设

是0的任一无偏估计，则

即

将（*）式两端对a 求导，并注意到

有

这说明于是

又

从而

是a 的UMVUE.

即

我们将（**）式的两端再对a 求导，得

由此可以得到出积分为0的项，有

下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指

这表明记

由此可得到由于

所以，

故

是

的UMVUE.

4． 若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，

你认为他是否有诀窍？（取

）.

【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题：

以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，x 〜b （100，0.5）, 由于样本量相当大，检验统计量可取为

检验的p 值近似为

因此应拒绝原假设，看来此人猜硬币有某种诀窍.

5． 为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p , 任意调查n 个成年男子, 记其中的吸烟人数为m , 问n 至少为多大才能保证m/n与p 的差异小于0.01的概率大于95%.

【答案】因为

, 所以

根据题意有

由此得

查表得

因而

在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1），故检验拒绝域

为