2018年吉林大学经济学院396经济类联考综合能力之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率.
【答案】设事件为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记有
，且
所以由全概率公式得
得递推公式
将
代入上式可得
由此得
2． 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9, 在两批种子中各任取一粒，求:
（1）两粒种子都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率.
【答案】记事件A 为“从甲中取出能发芽的种子”，B 为“从乙中取出能发芽的种子”. 则P （A ）=0.8, P （B ）=0.9.由经验知，事件A 与B 相互独立.
（1）P （两粒种子都能发芽）（2）P （至少有一粒种子能发芽）
（3）P （恰好有一粒种子能发芽）
3． 设
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为
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. 则
.
试问是否服从大数定律？
【答案】因为
即 4． 设
求X 和Y 的相关系数； 证明:
【答案】
由题意可知,
的概率分布如下:
表
证明:X 和Y 独立的充要条件为A 与B 独立.
且
记
存在，所以由辛钦大数定律知
服从大数定律.
由
X 和Y 相互独立
5． 有两个班级同时上一门课，甲班有25人，乙班有64人. 该门课程期末考试平均成绩为78分，标准差为14分. 试问:甲班的平均成绩超过80分的概率大、还是乙班的平均成绩超过80分的概率大？
【答案】
记
因为
甲班平均成绩超过80分的概率为
同理可计算乙班平均成绩超过80分的概率为
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为甲班第i 个学生的成绩
，
为乙班第个学生的成绩
，
所以由林德伯格-莱维中心极限定理，
所以甲班的平均成绩超过80分的概率大.
6． 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2, 方差分别为1和4, 而它们的相关系数为根据切比雪夫不等式，估计
【答案】因为
所以
7． 掷一颗均匀的骰子2次，其最小点数记为X , 求
【答案】X 的分布列为
表
所以
.
的上限.
试
8． 求以下给出的（X ，Y ）的联合密度函数的边际密度函数
（1）（2）（3）
【答案】（1）当x>0时，有
；
，所以X 的边际密度函数为
这是指数分布而当y>0时，有
.
，所以Y 的边际密度函数为
这是伽玛分布（2）因为
.
的非零区域为图阴影部分，
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