2018年北京建筑大学理学院818线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
的秩为
2.
二次型
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
线性无关.
和向量组
2．
设三维列向量组
线性无关，
列向量组
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
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线性表示；
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量 3．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
所有非零解
_
t 为任
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
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4． 设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为
（
2
）若
【答案】（1）由题意知
，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/对应的矩阵为
（
2）证明
：设则
而矩阵
A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
二、计算题
5． 设
证明A 的特征值只能取1或
2.
是
的特征值
. 但是，零矩阵只有特征值
【答案】设A 是A 的特征值，则0, 故则A=1
或A=2.
6． 设方阵A 满足
证明A
及A+2£都可逆，并求
及
【答案】（1）先证A
可逆. 原式得
AfA-五也就是知A 是可逆的，且（2）再证可逆. 由
即
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