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一、证明题

1． 设

为实数列，它满足不等式

【答案】由条件

知

将以上各式乘2后相加得

因为级数同理

于是

2． 证明下面的方程在点(0, 0, 0) 附近惟一确定了隐函数z=f(x , y )

，将f (x , y ) 在点(0, 0) 展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式.

【答案】令

则F (x , y , z ) 在点(0，0，0) 的邻域内连续，

在点(0, 0, 0) 的邻域内连续，且由隐函数求导法则易知

所以

于是

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又级数 收敛. 证明：

收敛，所以由迫敛性知

并

于是由隐函数存在定理，方程F (x ，y , z ) =0在点

(0, 0, 0) 附近惟一确定了隐函数z=f(x , y ) , 满足f (0, 0) =0.

3． 证明下列结论：

(1) 设函数列收敛，则

(2) 设散，则

中的每一项

b]上的单调函数. 若都是[a，

都绝对

在[a，b]上绝对收敛且一致收敛；

都在[a，b]上连续，级数

在[a，b]上非一致收敛.

都收敛.

则由

在[a，b]上绝对收敛且一致收敛.

存在正整数N ，当n>N时，对任意正整数p

知

收敛. 由

在[a，b]上

在[a，b]上处处收敛，而在x=b处发

【答案】(1) 由已知令单调，所以

由M 判别法知级数(2) 假设及

由于

有

在[a，b]上一致收敛，则

都在[a，b]上连续，令

对上式取极限得

对任意正整数p 都成立，由柯西收敛准则知致收敛.

4． 证明：

【答案】设

则

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收敛，矛盾. 故在[a，b]上非一

5． 设

与

中一个是收敛数列，另一个是发散数列.

证明

是发散数列，又问

和

是否必为发散数列？

【答案】用反证法. 不妨设收敛数列，由于是发散数列. 同理可证

在题设条件下

，

与

6． 证明：

【答案】减，且当

有时有

所以当

在内连续.

时在

在

内连续.

，

关于x 在上一致收敛于0.

内闭一内单调递

并且和

是收敛数列，是收敛数列，因此，

是发散数列. 令

假设

是

是收敛数列. 这与题设矛盾，故

时

，

时

，

}也是发散数列.

. 都可能是发散的，也可能是收敛的. 例如，当

时，

与

都是发散的. 而当

’都是收敛的. 当

收敛.

发散，

由狄利克雷判别法知，

致收敛，又被积函数连续，于是F (y ) 在

上一致收敛，即F (y ) 在

二、解答题

7． 讨论下列函数在点(0, 0) 的重极限与累次极限：

【答案】(1) 当动点(x ，y ) 沿着直线

趋于定点(0，0) 时，

这说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值均不同，因此，函数(k ，y )

当

时的重极限不存在，但累次极限：

(2) 函数的两个累次极限都不存在. 又

故

可见函数

的重极限存在且为零.

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