2017年长沙理工大学数学与计算科学学院837高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
时，
由AB=0, 用
，
使AB=0, 则（ ）
.
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】
则线性方程组（ ）•
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
二、分析计算题
6． 设
是n 个互不相同的整数，证明
在
内不可约.
它在
故
同为1或一
1.
显然没有实根，故内不变号. 于是对一切
若
因
而它们的次数
都为而有
得到矛盾. 若故
不能有如上的分解，因此在
同样能导出矛盾. 中也不可约.
为三角矩阵的充分必要条件是A 的特征
但故
又
的首项系数
故
的首项皆为1. 于是
皆为整系数及
则
也没有实根.
由数学分析知道函数
都等于1或都等于-1.
都有n 个不同的
根
与
在区间
中不可约等价于它在
中不能分解为两个较低次数的多项
此
时
【答案】
式的乘积. 用反证法.
设
7． 设A 是n 级实矩阵，证明：存在正交矩阵T 使多项式的根全是实的.
【答案】必要性. 设有正交矩阵T 使
为三角矩阵
其中
都是实数.
充分性. 用数学归纳法证明. 当n=l时结论显然成立. 假设结论对n —1级实矩阵成立.
都是实数，而A
与有相同的特征多项式.
它的根就是