2017年长江大学应用数学617高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
使
因此A 与B 合同.
3． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
4． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
线性无关.
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 设n 维线性空间V 上的线性变换A 一的最小多项式与特征多项式相同. 求证：
为v 的一个基.
【答案】据题设，设的最小多项式与特征多项式同为
则的前n-1个不变因子为1，1, …，1，第n 个不变因子为
容易知道，矩阵
使得
的不变因子也为为A , 即
所以存在V 的一个基
使得A 在这个基下的矩阵
现在4
则
且
因此
其中
为V 的一个基.
为A 的伴随矩阵，
为n 阶单位矩
7． 设A 为n 阶方阵，阵.
（1）求A 的一个零化多项式；（2）求A 的最小多项式【答案】（1）对所以
是A 的一个零化多项式.
（2）由（1）知，
所求最小多项式
或或
则有A=3E或A=2E，此均与
相矛盾. 所以
如
是
两边左乘A ，移项整理得
（3）求A 的若当标准形.
的因式.
所以
只能为
为一次，即
（3）由于A 的最小多项式与特征多项式不计重数时根相同，由（2）得A 的特征值为3和2, 又A 所有特征值之积为
所以A 的若当标准形为
8． 证明：如果
所以A 有且仅有另外一个特征值3. 即A 的所有特征值为
3, 3, 2.可见A 为3阶方阵，其不变因子为1,
不全为零，且
那么
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