2017年长沙理工大学数学与计算科学学院837高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
是（ ）二次型.
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
3． 设线性方程组的解都是线性方程组
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
4． 设
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出.
5． 设n （n ≥3）阶矩阵
线性相关，故选D.
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
【答案】B 【解析】
二、分析计算题
6． 设n 阶矩阵A 的元素均为整数，有理数程组
只有零解。
只要证明
的系数行列式不等于0即可.
【答案】不妨设
为既约分数（即
且p 与q 互质），线性方
事实上，由于
由行列式定义知必为整数如果
即
则有
所以
与
互质矛盾.
7． 计算n 阶行列式
【答案】解法I 利用性质化为三角形行列式法. 各行都加到第一行，再从第一行提出余各行，便得
解法II 利用性质化为三角形行列式另法.
先各行都减去第一行；再将所得行列式的各列都加到第一列，便得
解法III 拆项法. 按第一列将
拆成两个行列式相加；再将其中第二个行列式的各行都减去第一行，即得
然后再将所得行列式的第一行乘一a 加到其