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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 用频率抽样法设计一线性相位因果低通滤波器，N= 15, 幅频响应的抽样值为

（1）求相频响应的抽样值（2）求

及

的表达式。

【答案】（1）令 h （n ）的

DFT 又有

比较H （k ）的两个表达式，可以得到

现在来考察这个滤波器的频率响应属于4种情况中的哪一种。首先，N 为奇数；另外，如果奇对称， 应该有

将

代入，显然，当k=0时

但是根据已知条件，当k=0时

这就说明

应

该是偶对称的，于是应该属于情况1。 已经知道，对于情况1，应该满足

显然，题中所给的

是满足这样的对称关系的。另外，对于相频响应有

于是，相频响应的抽样值

（2）

由于当k=2, 3，…，13时

故也有

因此

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所以

注：上面的推导用到了而

其中

2． —个LTI 系统的单位抽样响应为响应为【答案】

因为

故根据傅里叶变换的卷积特性，有

又由于

故比较上面二式即有

单位抽样响应为

试证明

求其频率响应

设另一系统的频率

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3． 设系统的单位脉冲响

应态。 【答案】

系统的输

入是一些观测数据，

设

试利用递推法求系统的输出递推时设系统初始状态为零状

时，

时，

时，最后得到

4． 令

表示Z 变换为的无限时宽序列，而

和

表示长度为N 的有限时宽序列，其N 点

傅里叶变换用其中

【答案】因为

表不，如果试求

和

有如下关系：

之间的关系。

而

式中

为

为正整数，所以

5． 已知一个因果线性非时变（1）求系统的传递函数（3）求该系统的频率响应

系统，用差分方程表示为

的表达式，画出系统的零一极点图；

的表达式，画出幅频响应的示意图，指出它的滤波特性；

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（2）在平面的上标出系统的收敛域，根据收敛域判断系统的稳定性，并说明理由；