2017年江苏省培养单位紫金山天文台803概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 的分布函数为
【答案】因为X 为非负连续随机变量，有
由此得
所以
试求E （X ）和W （X ）.
注，此题也可直接计算得，
2． 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a 个错字，乙发现b 个错字，其中共同发现的错字有c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：
（1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数.
【答案】（1）设该书样稿中总错字的个数为甲校对员识别出错字的概率为出错字的概率为
根据频率替换思想有
由独立性可得矩法方程
解之得
乙校对员识别
由于甲、乙是彼此独立地进行校对，
则同一错字能被甲、乙同时识别的概率为
（2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即
譬如，若设a=120, b=124, c=80, 则该书样稿中错字总数的矩法估计为
而未
被发现的错字个数的矩法估计为186-120-124+80=22个.
3． 口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5. 从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.
（1）试求X 的分布列；
（2）写出X 的分布函数，并作图. 【答案】（1）从5个球中任取3个，共有号码，则X 的可能取值为3，4，5.
因为
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1种等可能取法.X 为取出的3个球中的最大
且当
时，有
所以
所以X 的分布列为
表
（2）由分布函数的定义知
F （x ）的图形如图
.
图
4． 若一次电话通话时间X （单位：min ）服从参数为0.25的指数分布，试求一次通话的平均时间.
【答案】因为
5． 设随机变量X 服从（-1，2）上的均匀分布，记
试求Y 的分布列. 【答案】因为
表
所以Y 的分布列为
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6． 随机选取9发炮弹，测得炮弹的炮口速度的样本标准差s=11m/s, 若炮弹的炮口速度服从正态分布，求其标准差的0.95置信上限.
【答案】在正态分布下，对样本方差有
故标准差的
置信上限为
现
查表知
故标准差的0.95置信上限为
7． 从一批产品中抽检100个，发现3个不合格，假定该产品不合格品率的先验分布为贝塔分布Be （2, 200），求的后验分布.
n-x+200）. 这里n=100, x=3, 【答案】根据不合格品率的共轭先验可知，的后验分布为Be （x+2，所以，的后验分布为Be （5, 297）.
8． 设随机变量X 服从上的均匀分布，求随机变量
【答案】X 的密度函数为
由于X 在间外，
其中
当
内取值，所以时，使
的可能取值区间为（0，1）. 在Y 的可能取值区
如图
. ，从而有
等价地
，
的密度函数
的x 取值范围为两个互不相交的区间
图
故
在上式两端对y 求导，得
即
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