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一、计算题

1． 设总体X 的3阶矩存在，若为样本方差，试证:

【答案】注意到

其中

. 而

又

由此，

2． 设随机变量X 的分布函数如下，试求E （X ）

.

是取自该总体的简单随机样本，

为样本均值，

【答案】X 的密度函数（如图1）为

图1

所以

3． 在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强度（主要质量指标）的影响.

为了比较

与

的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位:N ）:

表

根据经验，温度对针织品断裂强度的波动没有影响. 问在均断裂强度间是否有显著差别（假定断裂强度服从正态分布，响说明二者的方差是相等的.

设X 为

时针织品的断裂强度，Y 为

时针织品的断裂强度，

，

由样本数据可算得

»

于是

在显著性水平

时，，

，因此拒绝域为

时检验的平均断裂强度与

由于t 值落

时的平均断裂强度与

）？

时的平

【答案】本题为关于两正态总体均值相等的检验问题，温度对针织品断裂强度的波动没有影

待检验的一对假设为

入拒绝域内，从而拒绝原假设，认为时的平均断裂强度间有显著

差别.

4． 在用光电比色计检验尿汞时，对给定的尿汞含量x （mg/L）, 消光系数y 服从正态分布，且方差与x 无关，观测得如下数据:

表

试用两个标准分别建立一元回归方程. 【答案】由这组数据可计算得到

（1）用残差平方和最小的标准，可得两回归系数为

（2）回归直线垂直距离平方和最小的标准，可得两回归系数为

比较两个标准下的结果，可见

，这是因为其相关系数r=0.99966, 很接近1.

5． 有七种人造纤维，每种抽4根测其强度，得每种纤维的平均强度及标准差如下:

表

假定各种纤维的强度服从等方差的正态分布. （1）试问七种纤维强度间有无显著差异各种纤维的强度间有显著差异，请进一步在

；

下进行多重比较，并指出哪种纤维的平均强度

（2）若各种纤维的强度间无显著差异，则给出平均强度的置信水平为0.95的置信区间；若最大，同时给出该种纤维平均强度的置信水平为0.95的置信区间.

【答案】 （1）这是一个方差分析的问题. 由已给条件可算得

所以

而

因而

从而检验统计量

检验的P 值为

这说明因子是不显著的，故认为七种纤维强度间无显著差异.

（2）由于方差分析的结论是不显著的，故应将所有的数据看成来自同一个总体，从而将所有数据合并进行分析. 而（1）中的总平方和就是这里的误差偏差平方和，因为

所以误差方差的无偏估计为

即

另外，平均强度的估计为

若取

，则