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一、计算题

1． 如果

【答案】记

则对任意常数c , 有

则

是连续函数, 由上一题即可得

2． 在一本书上我们随机地检查了10页, 发现每页上的错误数为

试计算其样本均值、样本方差和样本标准差. 【答案】样本均值

样本标准差

3． 设

是来自U （-1, 1）的样本, 试求

和

4． 在入户推销效果研究中，分别用Hartley 检验和Bartlett 检验在显著性水平总体作方差齐性检验.

【答案】在习题中，r=5，每组样本量相同，均为7，可以采用Hartlev 检验，由于样本量大于5，也可以采用Bartlett 检验.

我们首先用Hartley 检验对等方差性作判断. 通过习题的解答我们可以算出各组内的平方和分别为

利用公式

可求得各组的样本方差

因而统计量H 的值为

对显著性水

平

由表查

得

从而拒绝域

为

且

由

于

即认为各个总体方差相等.

下对五个

样本方差

【答案】均匀分布U （—1, 1）的均值和方差分别为0和1/3, 该样本容量为n , 因而得

所以应该接受原假设

接下来计算Bartlett 检验统计量. 习题中已求得

于是Bartlett 检验统计量为

对显著性水

平

故应接受原假设

查表

知

拒绝域

为

由

于

即认为诸水平的方差满足方差齐性条件. 两种检验的结果是一致的.

5． n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.

【答案】设甲已先坐好，再考虑乙的坐法，显然乙总共有n-1个位置可坐，且这n-l 个位置都是等可能的，而乙与甲相邻有两个位置，因此所求概率为2/（n-1）.

6． 考虑一元二次方程其中B ，C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率P 和有重根的概率q.

【答案】按题意可知：概率为

而

含有19个样本点，所以

同理

而

含有两个样本点，所以

7． 有一批建筑房屋用的木柱, 其中80%的长度不小于3m , 现从这批木柱中随机地取出100根, 问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？

【答案】记X 为100根木柱中长度不小于3m 的根数, 则斯中心极限定理, 所求概率为

这表明至少有30根木柱短于3m 的概率近似为0.0088.

它含有36个等可能的样本点，所求的

. 利用棣莫弗-拉普拉

8． 由经验知某零件质量为

（单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量

已知方差不变，问平均质量是否仍为15g （取双侧假设检验问题，

检验的拒绝域为可算得，

由于

由

）？

查表知

使用样本数据

【答案】本题归结为对方差已知时检验正态总体均值μ=15的问题，而且这是，而且这是一个

故有充分理由拒绝原假设，因而不能认为产品的平均质量仍为15g.

二、证明题

9． 总体

（1）证明

其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；

从而

于是，

这说明

是参数的无偏估计. 进一步，

这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为

因而θ的最大似然估计为

下求

的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为

故

从而

这说明

不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又

为取自该总体的样本，为样本均值.

（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体

则

显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围