2018年南昌航空大学数学与信息科学学院827高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
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线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
线性无关.
所以向量组线性无关.
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
. 则
也不是线性变换，比如给
,
【答案】C 【解析】而
4． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 5． 若
则
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
其中
则PAQ=B
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
二、分析计算题
6． 以
表示数域P 上的2阶矩阵的集合. 假设
为两两互异的数, 且它们的和
不等于零. 试证明
是P 上线性空间【答案】设即有
的一组基.
且有关系式,
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从而
因此, 只要能证明上述关于性无关, 从而能构成
下面计算行列式
的一组基.
的线性方程组只有零解, 则.
就线
在
中加一行, 加一列变为
又因为从而 7． 设矩阵，且
为中y 的系数的相反数, 而由上式右边知y 的系数为
由
知, 构成
的一组基.
的零点. 试证:
33
从而上述线性方程组只有零解. 进而
为A 的复系数多项式，n 阶复矩阵
A 的特征根都不是
的逆矩阵可表为A
的多项式.
为满秩
【答案】设
且A
的n
个特征值为
所以f （A ）可逆. 又因为
③
其中
由凯莱定理，知
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则f （A ）的n 个特征值为
由假设可知
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