2018年南京财经大学应用数学学院823高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 是三级正交矩阵并且
（1）1是A 的一个特征值. （2）A 的特征多项式阵.
【答案】 （1）
故得出
是
所以1是A 的一个特征值；
为
即
而
故
不是A 的特
的解，
代入得到
所以
2． 求齐次线性方程组并将之扩充为
的标准正交基.
的解空间（作为
的子空间）的一组标准正交基，
所以A
的特征多项式
而根据（1）
的解，故解得
所以
（2）根据哈密尔顿一卡莱定理得到A 的特征多项式（3）因为A 是三级正交矩阵，故
征值，
所以
1是A 的特征多项式
，即
可表示为
则A 的转置
其中是某个实数.
其中E 是3级单位矩
（3）若A 的特征值全为实数并且
求证:
【答案】将方程组的增广矩阵化为简化阶梯形
方程组的一般解为
这里
是自由未知量. 取解空间W 的基：
再单位化，得W 的标准正交基
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先正交化，得
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记A 的行向量为
得
则
3
．
计算
可扩充为R4的标准正交基
阶行列式
则
将
正交化，标准化
，
【答案】将最后一列拆成两个行列式的和，
上式右端第一个行列式按到第列，
得
列展开，然后用归一法计算，第二个行列式列乘以加
4． 设V 是n 维线性空间
（1）证明
:（2）证明:
【答案】（1）由维数公式得
又因为
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X 和Y 为V 的两个子空间, 并且
当且仅当Y 是X 的子空间.
（3）举例说明:存在满足题设条件的线性空间V 及其子空间X 和Y , 使得
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所以有
从而
（2）由（1）知考虑到所以显见（3）取
又令则有且
5． 矩阵
的三个特征值分别为1, 1, 1,
试将A 表示成矩阵, 求J , T 和
.
可得A 的线性无关的特征向量为
即它的几何重数为2
, 代数重数为3, 当
时, 由
所以A 不能与对角阵相似, 且A 的
, 则由
标准形为.
【答案】由假设知
其中J 是A 的
标准形,
T 是变换
等价于且
的充要条件是
的充要条件是
命题得证.
, 则有
V 为3维几何空间
令
可得
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