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一、填空题

1． （1）函数f （x ）在[a，b]上有界是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件，而f （x ）在[a，b]上连续是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件;

（2）对常积分

，它的变上限积分上非负、连续的函数f （x ）收敛的_____条件。

一定______。

在

上有界是反

（3）绝对收敛的反常积分

【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收敛

2． 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有

其中f （x ）在【答案】1

【解析】由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式得

其中

为S 所围成的空间区域，当s 取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当S 取内侧

为连续函数，且对任意的

。因此，当x>0

内具有连续的一阶导数，则

=_____。

面时，上述三重积分前取“-”号。

由于曲面S 任意，因此空间区域也为任意，根据“若空间区域都有时，有

3． 设L 为圆周

【答案】-2π 【解析】

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，则

。

。可知

的正向，则_____。

。

4． 设数

【答案】共面

不全为0，使，则a ，b ，c 三个向量是_____的.

，即a ，b ，c 共面.

【解析】由

5． 若向量X 与向量a={2，-1, 2}共线，且满足a ·X=-18, 则X=_____。

【答案】{-1, 2, -4}

【解析】由题意知，向量X 与向量a 共线，则令

解得

即

，故

6． 设函数z=z（x , y ）由方程

【答案】【解析】设

确定，则=_____.

，则

所以

又z （1, 2）=0，得

7． 函数

【答案】2

【解析】由题意，构造函数

。则

故 8．

【答案】【解析】

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由方程确定，则_____.

。

=_____。

9． 设锥

面与半球面围成的空间区域

，

_____。

是的整个边界的外侧，

则

【答案】

10．设∣a ∣=3，∣b ∣=4，∣c ∣=5，且满足a+b+c=0，则∣a ×b+b×c+c×a ∣=_____

【答案】36 【解析】由由又由

知

知

，即

知以向量a ，b ，c 为边的三角形为直角三角形，且

11．对级数

【答案】必要；充分

12．微分方程

【答案】【解析】

又因为y=1时x=1，解得C=0，故x=y。 13．

若函数

_____。

【答案】【解析】令

，得

，且代入

方程中，得

，其中Z

是由方程

确定的x ，y 的函数，

则

2

，即

. 故

是它收敛的_____条件，不是它收敛的_____条件。

满足初始条件

的解为_____。

为一阶线性微分方程，所以

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