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一、计算题

1． 在抛物线y=x上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的2

切线平行于这条割线?

【答案】割线的斜率

假设抛物线上点（x 0，x 02

）处的切线平行于该割线，则有即2x 0=4，由此得所求点为（2，4）。

2． 求下列函数的自然定义域:

【答案】（1）即定义域为

（2）即定义域为

（3）且

且即定义域为

（4）即定义域为

（5）即定义域为 （6）即定义域为且

（7）即定义域为

（8）且即定义域为

（9）

即定义域为

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故x 0=2，

（10）即定义域为

注:本题是求函数的自然定义域，一般方法是先写出构成所求函数的各个简单函数的定义域，再求出这些定义域的交集，即得所求定义域. 下列简单函数及其定义域是经常用到的:

3． 当正在高度H 飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图所示，从飞机到机场的水平地面距离为L 。假设飞机下降的路径为三次函数确定飞机的降落路径。

的图形，其中

试

【答案】设立坐标系如图所示。根据题意，可知

为使飞机平稳降落，尚需满足

解得

故飞机的降落路径为

4． 计算曲线积分正方形的边界。

，其中C 是由四条直线围成的

【答案】设这四条直线所围成的区域是正方形区域记则

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显然，它们在闭正方形区域D 上都连续。由格林公式得

5． 把积分

化为三次积分，其中积分区域是由曲面

及平

面y=1，z=0所围成的闭区域。

【答案】为一曲顶柱体，其顶为

2

，底位于xOy 面上，其侧面由抛物柱面y=x

及平面y=1所组成。由此可知在xOy 面上的投影区域

因此

6． 求下列函数的偏导数：

【答案】

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