2017年辽宁师范大学数学学院数学系820高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 已知L 是第一象限中从点（0, 0）沿圆周（0, 2）的曲线段，计算曲线积分
【答案】如图所示，设圆现补充有向线段
由格林公式得
又
所以
，圆
：y 轴（y 从2到0）. 由L 与
；再沿圆周到点（2, 0）.
围成的平面区域记为D ，则
到点
图
2． 求平行于向量a=（6，7，﹣6）的单位向量.
【答案】向量a 的单位向量为
，故平行于向量a 的单位向量为
其中
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3． 求联系华氏温度（用F 表示）和摄氏温度（用C 表示）的转换公式，并求
（1） 90°F 的等价摄氏温度和-5°C 的等价华氏温度;
（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的? 如果存在，那么该温度值是多少?
【答案】设F=mC+b，其中m ，b 均为常数。 因为F=32°相当于C=0°，F=212°相当于C=100°，所以或
（1）
（2）设温度值t 符合题意，则有
4． 在摆线
，
即华氏-40°恰好也是摄氏-40°。
上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。
，故F=l.8C+32
【答案】对应于摆线第一拱的参数t 的范围为[0, 2π]，参数t 在范围[0，t 0]时摆线的长度为
当t 0=2π时，长度为8a ，故所求点对应的参数t 0满足到点的坐标为
5． 求旋转椭球面
【答案】令
上点
处的切平面与XOY 面的夹角的余弦。
，曲面的法向量为
曲面在点
，记
处的法向量为与
的夹角为
，则所求的余弦值为
6． 求椭球面
【答案】
设
上平行于平面
。已知平面的法向量为
所求切平面平行，得
代入椭球面方程得
，即
的切平面方程。
，
则曲面在点
处的一个法向量
，由已知平面与，
面的法向量为
。
，解得
，从而得
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解得
，则
，
。所以切点为
所求切平面方程为
即
7． 计算下列反常积分：
（1）（2）
【答案】（1）x=0为被积函数
的瑕点，而
故又
收敛。
，而
因此
故
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