2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院840概率论之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】记
为来自
的样本，试求假设，样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法可求出在上的MLE ，于是似然比统计量为
通过简单的求导计算可知，函数
在（0, 1）区间内单调递增，在
从而似然比检验等价于采用方检验是等价的.
2． 设二维随机变量（x , y ）的联合密度函数为少有一个小于0.5的概率
【答案】两事件
中至少有一个发生的概率为
3． 设二维连续随机变量
的联合密度函数为
试求条件密度函数【答案】因为当
时，
所以当
时，
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的似然比检验.
分别为的MLE ，而在上为u
上单调递减，于是
做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡
求X 与Y 中至
这是均匀分布
其中可见，这里的条件分布实质上是一族均匀分布.
’试求以下随机变量的密度函数
而当z>0
4． 设X 与Y 的联合密度函数为
(1)时，
：(2)
【答案】（1）因为p （X ，Y ）的非零区域为x>0，y>0，所以当z ≤0时，
所以，当z ≤0时，有
；而当z>0时，有
，这是伽玛分布
的交集为图（a ）阴影部分
.
（2）当z ≤0时，p （x , y ）的非零区域与.
图
又因为当z>0时，p （x , y ）的非零区域与
的交集为图（b ）阴影部分，所以
由此得
的分布列.
.
的可能取值也为0
5． 设随机变量X , Y 独立同分布，在以下情况下求随机变量
（1）X 服从p=0.5的（0-1）分布. （2）X 服从几何分布，即
【答案】（1）因为X 与Y 的可能取值均为0或1，所以或1,
因此
（2）因为X 服从几何分布，所以
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由此得
二、证明题
6． 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程注意到则
由于从而
这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到
所以
从而
于是
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为样本，
都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得
是的无偏估计，且
的均值与方差，
令
因而
故